Laplace II (27-may)

En esta clase se ha visto que en vez de aplicar la transformada de Laplace a las tensiones del circuito se pueden aplicar directamente al circuito. Se ha visto que aplicando la transformada de Laplace, el circuito sigue cumpliendo las leyes de Kirchhoff, de modo que si las podemos aplicar directamente al circuito porque no perdemos información.

A continuación se ha visto que se cumple Vo(s) 0 H(s) Vg(s), donde podemos ver que a la salida habrá una parte correspondiente a la tensión de entrada y un parte añadida por las características del circuito. La parte de la respuesta correspondiente a la excitación permanece y la parte correspondiente al circuito desaparece al cabo de un tiempo. El período de tempo en el que coexisten las dos respuestas se llama régimen transitorio. La duración de dicho período esta determinada por el polo más cercano al eje del diagrama p-z.

Finalmente hemos visto que hay circuitos en los que la parte correspondiente al circuito no desaparece nunca, al contrario, se va amplificando. Estos circuitos son los que contienen un polo en la parte derecha del diagrama p-z y se llaman circuitos inestables.

Bode III y Laplace (26-may)

En esta clase se ha visto una nueva forma de expresar la ganancia de un circuito. Con la forma utilizada hasta ahora se debía calcular cada vez el logaritmo a la menos uno para saber cual era el voltaje a una determinada frecuencia. En la nueva forma no hace falta hacer el cálculo cada vez. Para ello se establece un voltaje de referencia, 1mV, y se expresan las ganancias en relación a esta. Con esta nueva representación utilizamos la siguiente fórmula: Vo(dBmV)=G(dBfo)+Vg(dBmV).

Al inicio de esta asignatura acotamos los circuitos que se iban a estudiar en ella. Se decidió que solo se iban a estudiar aquellos que estuvieran en régimen permanente sinusoidal, pero sabemos que existe un período inicial en el que el circuito no se comporta de este modo. Para poder estudiar los circuitos en este período hemos utilizado la transformación de Laplace.

En esta clase se ha realizado una introducción a la transformación de Laplace. Se ha visto como se calculaba la transformada de Laplace de una función: L{v(t)}=V(s)=∫(de 0_ a ∞) v(t) e^-stdt, donde s = s+jw.

v(t)	V(s)
VM u(t)	VM / s
k e-at u(t)	k / (s+a)
VM coswot	VM s / (s2+wo2)
cualquiera	N(s) / D(s)

También se ha visto que una cosa importante a tener en cuenta de esta transformación es que, al ser una integral desde 0, diferentes tensiones que sean iguales después de 0, aunque antes del instante 0 fueran diferentes tendrán la misma transformada de Laplace. De modo que debemos restringir las tensiones que pueden ser transformadas mediante Laplace a aquellas que sean 0 antes del instantes de tiempo 0.

Seguidamente se ha visto como hacer la anti-trasformada de Laplace en caso de que no se identifique directamente con ninguna de las estudiadas anteriormente. Si esto ocurriera lo único que se debe hacer es descomponer la transformada en funciones simples que se puedan identificar directamente.

A continuación se ha visto que la transformada de Laplace se puede representar en un diagrama de polos y zeros. Esta representación ya nos ofrece mucha información acerca del circuito.

• Polo izquierda del eje → atenuación → acaba desapareciendo
• Polo derecha del eje → amplificación → nunca desaparece
• Polo eje → constante
• Polo cercano al eje → rápida atenuación/amplificación
• Polo lejano al eje → lenta atenuación/amplificación

Finalmente se ha visto una propiedad de la transformada de Laplace que nos puede ser muy útil en el análisis de circuitos:

v(t) ← → V(s)

dv/dt ← → sV(s)-v(0-)

Bode II (19 y 20-may)

En estas dos sesiones se ha visto como representar mediante Bode los factores elementales de las funciones de red.

1. H(s)=k → constante de valor 20log(k)
2. H(s)=k/s → recta de pendiente -20dB/dec y que pasa por G=0 en w=k
3. H(s)=ks → recta de pendiente +20dB/dec y que pasa por G=0 en w=1/k
4. H(s)=1/(s/w_c+1) → w<w_c → constate de valo
                         → w>w_c → recta pendiente -20dB (G=0 en w=w_c )
                         → w=w_c → error de -3dB
5. H(s)=s/w_c+1 → w<w_c → constate de valor 0
                    → w>w_c → recta pendiente +20dB (G=0 en w=w_c
                    → w=w_c → error de +3dB
6. H(s)=w_o²/(s²+2rw_o-w_o²) → w<w_o → constate de valor 0
                                  → w>w_o → recta pendiente -40dB (G=0 en w=w_o) 
                                   → w=w_o → error en función de r (Gw_o=-20log2r)

Diagramas polos-zeros III y Bode (13-mai)

En esta clase hemos visto que tipo de circuitos ofrece las raíces importantes vistas en la clase anterior. Son circuitos que tienen un circuito tanque (un condensador en paralelo con una bobina) en serie con una resistencia y Vo es el voltaje del circuito tanque.

Posteriormente hemos visto otro tipo de puntos relevantes en de los diagramas P-Z, los zeros complejos con parte real nula. Estas raíces son relevantes porque anulan |H| en una frecuencia determinada. Para encontrar esta frecuencia debemos expresar el polinomio del numerador en otro formato. s²+a → s²+w_o², donde w_o²=a. La wo resultante coincide con la frecuencia a la que |H| es igual a 0.

Los circuitos que ofrecen esta función de |H| son los que tienen un circuito tanque en serie con una resistencia y Vo es el voltaje en la resistencia.

Seguidamente hemos visto que la curva de |H| no nos permite saber |H| para cualquier w, solo lo conocemos para algunas w características. De modo que deberíamos buscar un nuevo modo de representar |H|. La nueva forma es la representación de Bode. Consiste en representar 20log|H(jw)| en función log(w) en vez de representar |H| en w. De este modo conseguimos un gráfico compuesto por rectas en vez de por curvas, facilitando así el calculo de |H| a cualquier w.

El gráfico de esta representación contiene log(w) en el eje de abscisas, de modo que w queda separado por décadas. El hecho de representar en función de log(w) hace que nunca se pueda representar w=0, de modo que el eje de ordenadas lo podemos poner donde mejor nos vaya. El eje de ordenadas representa la ganancia y su unidad es el deciBelio (dB).

Cuando la recta este por debajo de del eje de abscisas significará que se trata de una atenuación y cuando este por encima se tratara de una amplificación.

Finalmente se han visto dos términos nuevos:

Década → rango de frecuencias entre w₁ y w₂=10w₁

Octava → rango de frecuencias entre w₁ y w₂=2w₁

Diagramas polos-zeros II (12-mai)

En esta clase se han visto 3 términos nuevos:

Frecuencia de corte (w_c) → Frecuencia a la que la amplificación vale 0.707*amplificación máxima.

Ancho de banda (BW) → Rango de frecuencias entre los que la amplificación varia entre la máxima y 0.707*máxima.

Factor de calidad (Q) → Indicador de la “perfección” del circuito, utilizado para circuitos de resonancia.

También se ha visto uno de los puntos relevantes de los diagramas P-Z. Son los polos complejos con una parte imaginaria mucho mayor que la real. Estos puntos son importantes porque los circuitos que los contienen son circuitos de resonancia.

Para saber si el circuito tiene estas características, debemos expresar el polinomio del denominador en un nuevo formato. as²+bs+c → a(s²+2rw_os-w_o²), donde 2rw_o=b/a y w_o²=c/a. Una vez conocidos los parámetros r y w_o, debemos comprobar si r es menor que 0.1., en este caso en w_o |H| va ha tener su valor máximo y w_o+rw_o y w_o-rw_o seran sus frecuencias de corte.

En este tipo de circuitos es el los que se utiliza el factor de calidad. Q=r_max/BW=1/2r. De modo que Q>5.

Fourier III y Diagramas Polos-Zeros (6-mai)

En esta clase se ha visto como convertir una tensión de entrada periódica cualquiera en una tensión sinusoidal. Se debe conectar un circuito resonador o circuito con picos de resonancia, circuito con una función de red nula para todas las frecuencia menos para la deseada. En referencia a este concepto se ha visto un término nuevo, la pureza espectral. Este valor es la relación entre la amplitud de la tensión a la frecuencia fo y las amplitudes de las tensiones a frecuencias parásitas. Indica hasta que punto la tensión es sinusoidal.

A continuación se ha visto una nueva forma de representar las funciones de red. Esta nueva forma consiste en un diagrama polos-zeros. Los polos son las raíces del polinomio del denominador de la función y se representan mediante cruces. Los zeros son las raíces del polinomio del numerador, se representan con círculos. Finalmente hay un ultimo término a considerar en este diagrama y es la k. La k es el cociente del coeficiente del termino de mayor grado del numerador entre el del denominador.

Pasar de función de red a diagrama polos-zeros:

1. Pasar el numerador y el denominador a polinomios mónicos.
2. Encontrar las raíces de los dos polinomios.
3. Representar las raíces en un gráfico de complejos.

Pasar de diagrama de polos-zeros a función de red

1. Lanzar vectores desde los zeros hacia jw (para w=0, w=∞ y para alguna w característica).
2. Calcular el modulo de los vectores.
3. Multiplicar el modulo de los vectores.
4. Repetir los pasos 1), 2) y 3) para los polos.
5. Dividir el resultado del paso 3) entre el del paso 4.3).
6. Multiplicar la fracción por k.

Fourier II (5-mai)

Al inicio de esta clase hemos visto como se podríamos construir, con la teoría de circuitos que sabemos, el desarrollo en series de Fourier: deberíamos conseguir varias tensiones sinusoidales y desfasar-las (mediante un circuito desfasdor), también deberíamos conseguir una tensión continua y finalmente deberíamos ir sumando-las mediante sumadores (amplificador como restador precedido de un amplificador como inversor).

A continuación hemos visto otra forma de representar una tensión, la representación espectral. Esta representación consiste en dos gráficos, en uno se representa la tensión en función de la frecuencia y en el otro el desfase en función de la frecuencia. La representación se realiza mediante un conjunto de rayas espectrales de armónicos, múltiples de la frecuencia fundamental.

Se ha visto que al aplicar Fourier, si la tensión tiene discontinuidades, se necesitaran sinusoides de frecuencias más altas que si no tiene discontinuidades.

Seguidamente hemos visto tres tipos de tensiones periódicas y hemos visto como era su desarrollo en serie de Fourier:

1) Tensión cuadrada de ciclo de 50% de trabajo. Su transformado en serie de Fourier es: Vg(t)≈(V_M/2)+∑((V_M/n*pi)*cos(2pi*nf_ot -pi/2)), donde n=2k+1.

2)Tensión cuadrada de amplitud 2V_M. Su transformado en serie de Fourier es: Vg(t)≈∑((4V_M/n*pi)*cos(2pi*nf_ot-pi/2)), donde n=2k+1.

3)Tensión triangular de amplitud 2V_M. Su transformado en serie de Fourier es: Vg(t)≈∑((8V_M/n²pi²)*cos(2pi*nf_ot)), donde n=2k+1.

Después de saber ver como calcular el transformado en serie de Fourier, se ha querido comprobar la validez de la aproximación. Para hacerlo se ha calculado la potencia media de una resistencia excitada por una tensión periódica de ciclo de 50% de trabajo. Primero se ha calculado mediante la formula tradicional (P_M=V²_RMS/R_L) y se ha visto que P_M=V_M²/2R_L. Seguidamente se ha calculado mediante la Fourier: se ha hecho la transformada en serie hasta n=3 de modo que han quedado tres fuentes en serie, una fuente continua de amplitud VM/2 y dos sinusoidales, la del primera armónico (2V_M/pi) y la del segundo armónico (2V_M/3pi). Mediante este procedimiento se ha visto que P_M=V_M²/2R_L(1/2+4/pi²+4/9pi²). Finalmente se ha comprobado cual era el porcentaje de error y este era del 5.1%. De modo que podemos afirmar que se trata de una aproximación fiable.

Para terminar la clase se ha visto como se puede actuar delante de un circuito con excitación periódica. Para hacerlo se debe calcular la función de red del circuito e ir particularizando-la para tensiones múltiples a la fundamental. Una vez hecho esto solo hace falta calcular las amplitudes de la tensión de salida para cada frecuencia aplicando la formula |Vo|=|Vg|*|H| y el desfase mediante la formula arg(Vo)=arg(Vg)+arg(H).